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小学数学应用题题形与解题思路
小学数学应用题题形与解题思路

  应用题是小学数学中的重要内容之一,所涉及的面很广。解答应用题既要综合应用小学数学中的概念性质、法则、公式、数量关系和解题方法等最基本的知识,还要具有分析、综合、判断、推理的能力。所以解答应用题不仅可以巩固基础知识,同时也有助于培养学生初步的逻辑思维能力。

  下面把学生在小学阶段学过的应用题归纳为五大类,每类中都有基本应用题和复合应用题,使学生先掌握每类应用题的基本思路和解答方法,再解答一些综合应用知识较多的复合应用题。这样不但可以使学生掌握好基础知识,而且可以发展学生的智力,培养学生的解题能力。

  在解答应用题时,侧重于用算术方法的思路,对于适于用方程的,结合具体的题目也介绍用方程的思路和方法。

  一、一般应用题

  一般应用题没有固定的结构,也没有解题规律可循,完全要依赖分析题目的数量关系找出解题的线索。分析一般应用题时,可以侧重从条件入手分析,也可以侧重从问题入手分析。从条件入手分析时,要随时注意题目的问题,从问题入手分析时,要随时注意题目的已知条件。否则,在分析时可能要走弯路。

  例: 某五金厂一车间要生产1100个零件,已经生产了5天,平均每天生产130个。剩下的如果平均每天生产150个,还需几天完成?

  思路分析:已知“已经生产了5天,平均每天生产130个”,就可以求出已经生产的个数。已知“要生产1100个机器零件”和已经生产的个数。已知“剩下的平均每天生产150个”,就可以求出还需几天完成。

  例: 北辛庄要挖一条长1080米的水渠,计划25天完成。实际每天比计划多挖1.8米,可比计划提前几天完成?

  思路分析:要求可比计划提前几天完成,就需要先求出实际用的天数。

  (1)、计划每天挖多少米?

  (2)、实际每天挖多少米?

  (3)、实际几天完成?

  (4)、比计划提前几天完成?

  综合解答:

  练习题自己补充:

  二、典型应用题

  用两步或两步以上运算解答的应用题中,有的题目由于具有特殊的结构,因而可以用特定的步骤和方法来解答,这样的应用题通常称为典型应用题。

  (一)求平均数应用题

  解答求平均数问题的规律是:

  总数量÷对应总份数=平均数

  (注:在这类应用题中,我们要抓住的是对应,可根据总数量来划分成不同的子数量,再一一地根据子数量找出各自的份数,最终得出对应关系。)

  例: 一台碾米机,上午4小时碾米1360千克,下午3小时碾米1096千克,这天平均每小时碾米约多少千克?

  思路分析: 要求这天平均每小时碾米约多少千克。1.这一天总共碾了多少米?(一天包括上午、下午)。2.这一天总共工作了多少小时?(上午的4小时,下午的3小时)。3.这一天的总数量是多少?这一天的总份数是多少?(从而找出了对应关系,问题也就得到了解决。)

  例: 有两块实验田,第一块3.5亩,平均亩产小麦480千克;第二块1.5亩,共产小麦750千克。这两块地平均亩产小麦多少千克?

  思路分析: 要求这两块地合并起来的平均亩产量。1.第一块地总产量是多少?(第一块地给出的是单产量和亩数,要知道第一块地的总产量,)。第二块地的总产量已知,(可得两块地的总数量)。2.第一块地的份数已知(3.5亩),第二块地的份数已知(1.5亩),(总数量就可以找到对应的总份数)。

  (二) 归一问题

  归一问题的题目结构是,题目的前部分是已知条件,是一组相关联的量;题目的后半部分是问题,也是一组相关联的量,其中有一个量是未知的。解题规律是,先求出单一的量,然后再根据问题,或求单一量的几倍是多少,或求有几个单一量。

  例:6台拖拉机4小时耕地300亩,照这样计数,8台拖拉机7小时可耕地多少亩?

  思路分析:先求出单一量,即1台拖拉机1小时耕地的亩数,再求8台拖拉机7小时耕地的亩数。

  例: 3台磨面机8小时磨面粉57.6吨,5台同样的磨面机,要磨面粉240吨,需要几小时?

  思路分析:先求出1台1小时磨面粉的吨数,最后看240吨里有几个5台1小时磨面粉的吨数,就是需要几小时。

  (三) 相遇问题

  指两运动物体从两地以不同的速度作相向运动。相遇问题的基本关系是: 1.相遇时间=相隔距离(两个物体运动时)÷速度和。

  例:两地相距500米,小红和小明同时从两地相向而行,小红每分钟行60米,小明每分钟行65米,几分钟相遇? 2.相隔距离(两物体运动时)=速度之和×相遇时间

  例:一列客车和一列货车分别从甲乙两地同时相对开出,10小时后在途中相遇。已知货车平均每小时行45千米,客车每小时的速度比货车快20﹪,求甲乙相距多少千米?

  3.甲速=相隔距离(两个物体运动时)÷相遇时间-乙速

  例:一列货车和一列客车同时从相距648千米的两地相对开出,4.5小时相遇。客车每小时行80千米,货车每小时行多少千米?

  相遇问题可以有不少变化。如两个物体从两地相向而行。但不同时出发,或者其中一个物体中途停顿了一下,或两个运动的物体相遇后又各自继续走了一段距离等。都要结合具体情况进行分析。(相遇问题可以引申为工程问题:即工效和×合做时间=工作总量)。

  练习题自己补充:

  三、分数和百分数应用题

  分数和百分数的基本应用题有三种,下面分别谈一谈每种应用题的特征和解题的规律。

  (一)求一个数是另一个数的百分之几

  这类问题的结构特征是,已知两个数量,所求问题是这两个量间的百分率。求一个数是另一个数的百分之几与求一个数是另一个数的几倍或几分之几的实质是一样的,只不过计算结果用百分数表示罢了,所以求一个数是另一数的百分之几时,要用除法计算。解题的一般规律是:设a、b是两个数,当求a是b的百分之几时,列式是a÷b。解答这类应用题时,关键是理解问题的含意。

  例:养猪专业户李阿姨去年养猪350头,今年比去年多养猪60头,今年比去年多养猪百分之几?

  思路分析: 问题的含义是:今年比去年多养猪的头数是去年养猪头数的百分之几。所以应用今年比去年多养猪的头数去÷去年养猪的头数,然后把所得的结果转化成百分数。

  例: 某水泥厂,五月份计划生产水泥2.4万吨,实际生产水泥3万吨,实际比计划增产百分之几?

  思路分析:根据题意可知,问题的含意是:实际比计划增产的水泥是计划生产水你的百分之几。增产的水泥有几万吨。题目没有直接给。(算出增产水泥,从而得出用增产的水泥÷计划的产量)。

  :

  (二) 求一个数的几分之几或百分之几

  求一个数的几分之几或百分之几是多少,都用乘法计算。解答这类问题时,要从反映两个数的倍数关系的那个已知条件入手分析,先确定单位“1”,然后确定求单位“1”的几分之几或百分之几。

  例:和平小学扩建校舍,原计划投资56000元,实际投资比计划节约了 实际投资多少元?

  思路分析: 已知实际投资比原计划节约了 ,可知以原计划投资为单位“1”,实际投资是原计划投资的(1- )。求实际投资多少元,就是求56000元的(1- )是多少元。

  例:第二服装厂,三月份计划加工服装45000件,结果上半月完成了 下半月完成了60﹪,这个月比原计划多加工服装多少件?

  思路分析:由题意可知,上半月完成的和下半月完成的都是以计划加工服装45000件为单位“1”。实际完成的是计划的( ),比计划多完成了( )。求这个月比原计划多加工服装多少件,就是求45000件的( )是多少件?

  此题还有不同的解法,自己探讨解题思路。

  :

  (三)已知一个数的几分之几或百分之几是多少,求这个数

  这类应用题可以用方程来解,也可以用算术法来解。用算术方法解时,要用除法计算。解答这类应用题时,也要反映两个数的倍数关系的已知条件入手分析,先确定单位“1”,再确定单位“1”的几分之几或百分之几是多少。一些稍难的应用题,可以画图帮助分析数量关系。

  例:学校举行跳绳比赛,小明跳了120个,比小强多跳了 。小强跳了多少个?

  用方程的思路分析:设小强跳了x个。由题意可知,小明跳的是小强的(1+ )倍,即x的(1+ )倍是120个。根据这个等量关系,就可以列方程求出x的值。

  用算术解的思路分析:已知小明比小强多跳了 ,可知是以小强跳的个数为单位“1”,小明跳的是小强的(1+ )。已知小明跳了120个,即已知小强跳的(1+ )是120个,求小强跳的个数(即求单位“1”),就是已知一个数的(1+ )是120个,求这个数,用除法解答。

  :

  (四) 工程问题

  工程问题是研究工作效率、工作时间和工作总量的问题。这类题目的特点是,工作总量没有给出实际数量,把它看做“1”,工作效率用 来表示,所求问题大多是合作时间。

  例:一件工程,甲工程队修建需要8天,乙工程队修建需要12天,两队合修4天后,剩下的任务,有乙工程队单独修,还需几天?

  思路分析:把一件工程的工作量看作“1”,则甲的工作效率是 ,乙的工作效率是 。已知两队合修了4天,就可求出合修的工作量,进而也就能求出剩下的工作量。用剩下的工作量除以乙的工作效率,就是还需要几天完成。

  例: 加工一批机器零件,师傅单独加工需要10小时,徒弟单独加工需要15小时。师徒二人合作,完成任务时,师傅比徒弟多加工了30个。问这批零件共有多少个?

  思路分析: 要求这批零件有多少个,就得知道师傅比徒弟多加工的30个零件占这批零零件的几分之几。要想得到这个条件,就得知道师徒二人合作了几天,和师傅比徒弟一天多加工这批零件的几分之几。

  :

  四、比和比例应用题

  比和比例应用题是小学数学应用题的重要组成部分。在小学中,比的应用题包括:比例尺应用题和按比例分配应用题,正、反比例应用题。

  (一)比例尺应用题

  这种应用题是研究图上距离、实际距离和比例尺三者之间的关系的。解答这类应用题时,最主要的是要清楚比例尺的意义,即:

  图上距离÷实际距离=比例尺

  或 =比例尺 根据这个关系式,已知三者之间的任意两个量,就可以求出第三个未知的量。

  例:在比例尺是1:3000000的地图上,量得A城到B城的距离是8厘米,A城到B城的实际距离是多少千米?

  思路分析:把比例尺写成分数的形式,把实际距离设为x,代入比例尺的关系式就可解答了。所设未知数的计量单位名称要与已知的计量单位名称相同。

  (二)按比例分配应用题

  这类应用题的特点是:把一个数量按照一定的比分成两部分或几部分,求各部分的数量是多少。这是学生在小学阶段唯一接触到的不平均分问题。这类应用题的解题规律是:先求出各部分的份数和,在确定各部分量占总数量的几分之几,最后根据求一个数的几分之几是多少,用乘法计算,求出各部分的数量。按比例分配也可以用归一法来解。

  例:一种农药溶液是用药粉加水配制而成的,药粉和水的重量比是1:100。2500千克水需要药粉多少千克?5.5千克药粉需加水多少千克?

  思路分析:已知药和水的份数,就可以知道药和水的总份数之和,也就可以知道药和水各自占总份数的几分之几,知道了分率,相应地也就可以求出各自相对量。

  (三)正、反比例应用题

  解答这类应用题,关键是判断题目中的两种相关联的量是成正比里的量,还是成反比例的量。

  如果用字母x、y表示两种相关联的量,用K表示比值(一定),两种相向关联的量成正比例时,用下面的式子来表示:

  (一定)。

  如果两种相关联的量成反比例时,可用下面的式子来表示:

  x×y=K(一定)。

  例:六一玩具厂要生产2080套儿童玩具。前6天生产了960套,照这样计算,完成全部任务共需要多少天?

  思路分析:因为工作总量÷工作时间=工作效率,已知工作效率一定,所以工作总量与工作时间成正比例。

  例:化肥厂生产一批化肥,每天生产9吨,需要30天完成,如果要提前3天完成任务,每天应生产多少吨?

  思路分析:因为工作效率×工作时间=工作总量,已知工作总量一定,所以工作效率和工作时间成反比例。

  :

  五、植树问题、鸡兔问题、抽屉原理

  六、几何初步知识方面的应用题

 
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